INDUCCION A LA MATEMATICA

Inducción matemática


En matemáticas, la inducción es un razonamiento quepermite demostrar una infinidad de proposiciones, o una proposición que depende de un parámetro n\, que toma una infinidad de valores enteros. En términos simples, la inducción matemática consiste en el siguiente razonamiento:
Premisa mayor: El número entero a\, tiene la propiedad P\,.
Premisa menor: El hecho de que cualquier número entero n\, tenga la propiedad P\, implica que n+1\, también la tiene (que se anota con el símbolo de condicional material: n \Rightarrow n + 1).
Conclusión: Todos los números enteros a partir de a\, tienen la propiedad P\,.
Con más rigor, el método de inducción matemática es el que realiza la demostración para proposiciones en las que aparece como variable un número natural. Se basa en un axioma denominado principio de la inducción matemática.

Historia

La primera formulación explícita sobre el principio de inducción fue establecida por el físico-metemático Blaise Pascal en su obra Traité du triangle arithmétique (1665).2

Demostraciones por inducción

El razonamiento para demostrar una proposición cualquiera mediante el esquema del razonamiento es como sigue. Llamemos P_n\, a la proposición, donde n\, es el rango.
  • Se demuestra que P_0\,, el primer valor que cumple la proposición (iniciación de la inducción), es cierta.
  • Se demuestra que si se supone P_n\, como cierta y como hipótesis inductiva, entonces P_{n+1}\, lo es también, y esto sin condición sobre el entero natural n\, (relación de inducción).
Luego, demostrado esto, concluimos por inducción, que P_n\, es cierto para todo natural n\,.
La inducción puede empezar por otro término que P_0\,, digamos por P_{n_0}\,. Entonces P_n\, será válido a partir del número n_0\,, es decir, para todo natural n \ge n_0\,.

Ejemplo 2


Se tratara de demostrar por inducción la siguiente proposición:
\sum_{k=1}^n (2k - 1) 3^k = (n - 1) 3^{n+1} + 3 \forall n \in \mathbb{N}
1. Se comprueba para n=1
\sum_{k=1}^1 (2 - 1) 3^1 = 3 = (1 - 1) 3^{1+1} + 3
Se tiene por tanto que la proposición es verdadera para n=1
2. Hipótesis inductiva (n=h)
\sum_{k=1}^h (2k - 1) 3^k = (h - 1) 3^{h+1} + 3
3. Tesis inductiva (n=h+1)
\sum_{k=1}^{h+1} (2k - 1) 3^k = (h + 1 - 1) 3^{h+1+1} + 3
\sum_{k=1}^{h+1} (2k - 1) 3^k = h 3^{h+2} + 3
4. Demostración de la tesis en base a la hipótesis
\sum_{k=1}^{h+1} (2k - 1) 3^k = \sum_{k=1}^{h} (2k - 1) 3^k +(2(h+1) - 1) 3^{h+1}
Se aplica la hipótesis de inducción:
\sum_{k=1}^{h+1} (2k - 1) 3^k = (h - 1) 3^{h+1} + 3 + [2(h+1) - 1] 3^{h+1}
\sum_{k=1}^{h+1} (2k - 1) 3^k = (h - 1) 3^{h+1} + 3 + (2h+2 - 1) 3^{h+1}
\sum_{k=1}^{h+1} (2k - 1) 3^k = 3^{h+1} (h - 1 + 2h + 1) + 3 (sacando factor común)
\sum_{k=1}^{h+1} (2k - 1) 3^k = 3^{h+1} 3h + 3
\sum_{k=1}^{h+1} (2k - 1) 3^k = h 3^{h+2} + 3
Por lo tanto, por verificarse la proposición para n=1 y para n=k+1 siendo k cualquier número natural, la proposición se verifica \forall n \in \mathbb {N}

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