Ecuación

El primer uso del signo igualdad, la ecuación equivale a la notación moderna 14x+15=71, tomado de The Whetstone of Witte de Robert Recorde (1557).

Una ecuación es una igualdad matemática entre dos expresiones algebraicas, denominadas miembros, en las que aparecen valores conocidos odatos, y desconocidos o incógnitas, relacionados mediante operaciones matemáticas.nota 1 Los valores conocidos pueden ser números, coeficientes oconstantes; y también variables cuya magnitud pueda ser establecida a través de las restantes ecuaciones de un sistema, o bien mediante otros procesos.nota 2 [cita requerida] Las incógnitas, representadas generalmente por letras, constituyen los valores que se pretende hallar. Por ejemplo, en la ecuación:

la variable

representa la incógnita, mientras que el coeficiente 3 y los números 1 y 9 son constantes conocidas. La igualdad planteada por una ecuación será cierta o falsa dependiendo de los valores numéricos que tomen las incógnitas; se puede afirmar entonces que una ecuación es una igualdad condicional, en la que sólo ciertos valores de las variables (incógnitas) la hacen cierta.

Se llama solución de una ecuación a cualquier valor individual de dichas variables que la satisfaga. Para el caso dado, la solución es:

Resolver una ecuación es encontrar su dominio solución, que es el conjunto de valores de las incógnitas para los cuales la igualdad se cumple. Por lo general, los problemas matemáticos pueden expresarse en forma de una o más ecuaciones;[cita requerida] sin embargo no todas las ecuaciones tienen solución, ya que es posible que no exista ningún valor de la incógnita que haga cierta una igualdad dada. En ese caso, el conjunto de soluciones de la ecuación será vacío y se dice que la ecuación no es resoluble. De igual modo, puede tener un único valor, o varios, o incluso infinitos valores, siendo cada uno de ellos una solución particular de la ecuación. Si cualquier valor de la incógnita hace cumplir la igualdad (esto es, no existe ningún valor para el cual no se cumpla) la ecuación es en realidad una identidad.nota 3

Tipos de ecuaciones

Las ecuaciones pueden clasificarse según el tipo de operaciones necesarias para definirlas y según el conjunto de números sobre el que se busca la solución. Entre los tipos más frecuentes están:

Ecuaciones algebraicas

Una ecuación algebraica en un cuerpo dado es una ecuación de la forma

donde

es un polinomio en ese cuerpo (posiblemente con varias variables). Por ejemplo:

es una ecuación algebraica de segundo grado y dos variables sobre el cuerpo de los números racionales.

Polinomio algebraico

En matemáticas, un polinomio algebraico en un cuerpo es un polinomio con coeficientes en ese cuerpo. En el caso más simple, lo que a menudo significa mientras no se especifique otro, el cuerpo es

, el cuerpo de los números racionales, en este caso los polinomios algebraicos son aquellos con coeficientes racionales. Por ejemplo:

es un polinomio algebraico en los racionales.

Conversión de coeficientes

Una ecuación algebraica en el cuerpo de los racionales siempre puede convertirse en una ecuación con coeficientes enteros. Por ejemplo, tomemos la ecuación de tercer grado:

multiplicando por tres toda la ecuación tenemos:

La forma estandar de este tipo de ecuación, sin embargo, tiene un coeficiente unitario al principio:

Si todos los otros coeficientes son enteros, entonces las raíces de la ecuación son enteros algebraicos.

Ecuaciones trascendentes

Considerando la ecuación

ésta no es una ecuación algebraica en cuatro variables (x, y, z y T) en el cuerpo de los números racionales debido a que el seno, la exponenciación y 1/T no son funciones polinomiales. En este caso se está tratando con ecuaciones trascendentes.1 Sin embargo si es una equación algebraica en